Van klassieke fysica tot kwantummechanica 5 juni 2020 If quantum mechanics hasn’t profoundly shocked you, you haven’t understood it yet. – N. Bohr Het woord kwantum is een buzzwoord dat de laatste tijd te pas en te onpas opduikt in verschillende contexten. Het gaat dan over wetenschap of pseudowetenschap, en het is niet altijd voor iedereen duidelijk waar het ene ophoudt en het volgende begint. Graag geef ik een korte introductie over wat we weten over kwantumfysica in de wetenschap. Wat maakt het juist zo speciaal en wat maakt het juist zo onintuïtief en moeilijk? Specifiek heb ik het over hoe we kunnen overgaan van een klassiek regime naar een kwantummechanisch regime. In het teken van mijn thesis over kwantumgroepen, focus ik op wat meetkunde kan betekenen voor deze overgang. Klassieke mechanica Een van de belangrijkste concepten voor het beschrijven van menig fysiek systeem is de faseruimte. Dat klinkt misschien ingewikkeld, maar is het eigenlijk helemaal niet. We nemen als voorbeeld een balletje aan een veer, en willen graag een verduidelijkende tekening maken van wat er aan de hand is. Wat zijn de eigenschappen van het balletje? Op elk moment in de tijd kan je het beschrijven aan de hand van twee grootheden. Langs de ene kant moet je weten waar het zich bevindt, terwijl langs de andere kant je moet weten waarheen het gaat. De positie en de snelheid zijn dan voldoende om het systeem vast te leggen. Faseruimte voor het voorbeeld van een balletje aan een veer. Om dat om te zetten in een tekening gebruiken we een techniek die vaak toegepast wordt in de wetenschap. We maken een grafiek met op de ene as de positie en op de andere as de snelheid van het deeltje. Het resultaat is een diagram van de faseruimte, te zien in bovenstaande figuur, en we vinden dat het traject van ons voorbeeld een cirkel beschrijft. Dat is overigens intuïtief te verklaren doordat we verwachten dat het balletje heen en weer schommelt. In de horizontale richting zien we dus dat de positie heen en weer beweegt, terwijl in de verticale richting hetzelfde gebeurt met de snelheid van het blokje, dat ook afwisselt tussen vooruit en achteruit bewegen. Het is zeker niet zo dat voor elk systeem dat we kunnen beschrijven met een faseruimte de trajecten doorheen die ruimte zulke eenvoudige vormen aannemen. Gewoonlijk komen er uiterst complexe vormen tevoorschijn, die vaak esthetisch best intrigerend zijn. Als expliciet voorbeeld geeft figuur 1 het geval voor een systeem dat te maken heeft met het beschrijven van het weer, terwijl figuur 2 een wiskundig speelgoedje is die specifiek aanleiding geeft tot een interessante figuur. Het al dan niet exact kunnen bepalen van de vormen in de faseruimte is een erg belangrijke bron van veel studies. Indien het mogelijk is om de vormen exact op te stellen, zoals het geval is voor de cirkel in de faseruimte van de veer, wordt een systeem integreerbaar genoemd. De andere twee gevallen zijn slechts op te stellen aan de hand van benaderingen en numerieke methoden, vaak met behulp van computers. Dit is dan ook waar de meetkunde komt kijken. De vergelijkingen die bij de fysische wetten horen worden vervangen door meetkundige vormen in de faseruimte, en het bestuderen van deze vormen geeft ons meer informatie over het gedrag van het systeem. Fig1: Faseruimte voor de Lorenz attractor (weersfenomenen). Fig2: Faseruimte voor een versie van de Gumowski-Mira map. Eigenschappen van de kwantummechanica Wat is er dan zo fundamenteel verschillend aan kwantummechanica en hoe gaan we over van het ene regime naar het andere? Er zijn twee zaken die vaak aangehaald worden die kwantummechanica fundamenteel verschillend maakt van klassieke mechanica. De eerste eigenschap die klassiek afwezig is, maar voor kwantummechanica uiterst belangrijk is is het overgaan van continue grootheden naar discrete grootheden. Concreet, waar klassiek gezien elke waarde van de energie toegestaan zou zijn, zij het , , , of elke mogelijke waarde daartussen (de eenheden doen er nu niet echt toe), verdeelt de kwantummechanica de toegelaten energie-niveaus in discrete waarden, bijvoorbeeld enkel , , Een tweede aspect is dat de deeltjes van onze theorieën vervangen worden door golven. Het grootste verschil tussen een golf en een deeltje is dat een deeltje zich maar op 1 plaats tegelijk kan bevinden, terwijl een golf zich juist over zijn volledige medium uitspreidt. Als dat al niet genoeg zou zijn, komt daar dan ook nog eens bovenop dat het niet meer altijd mogelijk is om met oneindige precisie verschillende grootheden tegelijk te kennen. Het meest bekende voorbeeld van twee zulke grootheden is positie en snelheid, vervat in de onzekerheidsrelatie van Heisenberg. Terugdenkend aan het balletje aan een veer, lijkt het alsof het volledige systeem dan in het water valt. Het is niet meer mogelijk de positie en snelheid van het balletje aan te duiden met een punt op de grafiek, aangezien de golf zich over de hele grafiek uitspreidt. Het is ook niet meer mogelijk om tegelijk de positie en de snelheid te kennen, zodanig dat we zelfs al konden we een punt zetten we niet zeker kunnen zijn over waar het punt dan wel precies hoort te staan. Het allerliefste zouden we een mooi recept willen, zodanig dat we, vertrekkend van een klassiek systeem als ingrediënt, een kwantum systeem kunnen voorschotelen. Dit systeem moet dan voldoen aan de eigenschappen van de kwantummechanica, in het bijzonder de hierboven vermeldde begrippen. Dit proces draagt de naam kwantisatie. Er zijn verschillende recepten die dit bereiken, en mijn thesis situeert zich onder meer in de studie van zo een recept, genaamd deformatie-kwantisatie. Deformatie-kwantisatie? “Deformatie-watte?” Dit is een recept waarbij het gaat om het proberen redden van de ideeën van de faseruimte. Het probleem van het lokaliseren van de golven valt op te lossen door het idee van een punt in de faseruimte te laten vallen, en over te gaan op een kansverdeling. De pieken van de golven komen dan overeen met plaatsen waar er een hoge kans is om het deeltje te vinden, en de dalen waar er een lage kans is. Dit is het verhaal van de golffunctie van een deeltje in de kwantummechanica. Het behouden van de onzekerheidsrelatie van Heisenberg is echter wat moeilijker. Wanneer we terugkijken naar onze grafieken, dan lijkt het alsof er weinig opties zijn om zo een concept te implementeren in onze tekeningen. Wanneer het gaat over deformatie-kwantisatie, dan hebben we het specifiek over het vervormen van de grafieken zodanig dat dit wel mogelijk is. Wat wordt er dan bedoeld met vervorming? Klassiek gezien hebben we onze tekeningen gemaakt op een papier, zijnde een vlak. Als we deze restrictie laten varen, en toelaten om tekeningen te maken op abstracte vervormingen van het papier, dan valt het idee van de faseruimte te redden! Intuïtief komt de vervorming overeen met het buigen, plooien en verfrommelen van het papier, maar vaak is de deformatie veel ingrijpender dan dat, zodanig dat het heel moeilijk wordt om nog een concreet beeld te vormen met hoe de tekening er uiteindelijk gaat uitzien. Dit is waar we de meetkunde vervangen door algebraïsche meetkunde, en het uitsluitend nog hebben over de structuur aan de hand van de onderliggende algebra, en minder aan de hand van de ruimtelijke vormen. Veel details hierrond vergen wiskunde die niet in één pagina uit te leggen valt, maar voor de geïnteresseerde lezer vermeld ik nog het volgende. De algebraïsche meetkunde die de klassieke faseruimte beschrijft wanneer we het hebben over integreerbare systemen, is vervat in symplectische ruimten. Wanneer we op zoek gaan naar de kwantummechanische tegenhanger, dan komen we uit bij de kwantumgroepen, het onderwerp van mijn thesis. Lukas Devos Student Master of Science in de Fysica & Sterrenkunde Promotor: Prof. dr. Jutho Haegeman Begeleider: Gert Vercleyen Quantum Groups in Integrable Systems Afbeeldingen afkomstig van Wikipedia.