Fysicus vs. Chaos

We need science education to produce scientists, but we need it equally to create literacy in the public.

H. Bethe

Ik maak mijn thesis in de Quantum Group van de UGent. Het gaat over het ‘benaderend toepassen van de Bethe ansatz op niet-integreerbare systemen’. Waarschijnlijk zegt dit onderwerp je niet veel en je denkt misschien dat dit weer één van die obscure dingen is waar theoretische fysici zich mee bezighouden. Niets is minder waar! We zullen zien dat niet-integreerbare systemen all over the place zijn. De UGent en de VVN proberen dan ook om de fysica dichter bij de mensen te brengen, duidelijk te maken waarnaar er allemaal onderzoek gedaan wordt en waarom dit belangrijk is voor ons steeds groeiend begrip van de wereld rondom ons. Het doel van dit blogtekstje is dan ook om mijn thesis in mensentaal uit te leggen en het te situeren in het grotere beeld.

Integreerbaarheid

Het voornaamste onderwerp van mijn thesis is integreerbaarheid. Dit is een concept waarin men zo abstract en wiskundig kan gaan als men wil. Ik zal hier dan ook mijn best doen om deze uitleg zo eenvoudig en intuïtief mogelijk te houden. Voor een diepgaandere, maar nog steeds duidelijke uitleg, kan je eens een kijkje nemen naar deze paper.


Links: Het zonnestelsel met de zon en zijn negen planeten. Elke planeet heeft op een gegeven tijdstip een positie en een impuls (massa \times snelheid). Midden: Een krachtendiagram die de aantrekkingskracht van één deeltje als gevolg van twee andere deeltjes beschrijft. Rechts: De vergelijkingen van Hamilton in klassieke mechanica. H is de Hamiltoniaan. De bovenste vergelijking vertelt je dat positie afleiden naar de tijd, of dus de snelheid van een deeltje, kan verkregen worden door de Hamiltoniaan af te leiden naar p, de impuls. De onderste vergelijking zegt iets over de kracht, de verandering in de impuls in een bepaalde tijd. Je verkrijgt de kracht door de Hamiltoniaan af te leiden naar de positie. We zien dus dat alle belangrijke informatie (positie en impuls) bevat zit in die Hamiltoniaan.

De uitleg van integreerbaarheid begint met een systeem van deeltjes. Neem bijvoorbeeld het zonnestelsel hierboven met als deeltjes de zon en de planeten. Om dit systeem op een gestructureerde manier te beschrijven, onthouden we de positie en de impuls[1] van elk deeltje. Elk deeltje krijgt dus zes getallen toegewezen: drie om zijn positie vast te leggen (de x, y en z coördinaten) en drie om zijn impuls in die richting te onthouden. De deeltjes kunnen en zullen natuurlijk van positie en snelheid veranderen, wat betekent dat die zes getallen voor elk deeltje zullen veranderen in de tijd. Die verandering wordt bepaald door een functie die de Hamiltoniaan genoemd wordt, zoals je kan zien in figuur 1 rechts. Dit is een duur woord voor de totale energie van het systeem. De Hamiltoniaan is heel wat gemakkelijker om mee te werken als er veel deeltjes betrokken zijn dan het tekenen van krachtpijltjes (midden figuur 1), omdat er in de Hamiltoniaan geen vectoren zitten. Enkel getalletjes (energieën) die je moet optellen. In ons voorbeeld van het zonnestelsel zit er in die Hamiltoniaan dus alle bewegingsenergie van de planeten én de gravitationele aantrekkingsenergie tussen alle planeten onderling en de zon.

Om te weten wat het zonnestelsel in de toekomst gaat doen, waar de planeten morgen zullen staan, hebben we de Hamiltoniaan van het zonnestelsel nodig. Het is duidelijk dat die Hamiltoniaan afhangt van de wetten van de fysica. Die Hamiltoniaan voorspelt namelijk de beweging van de planeten van het zonnestelsel en moet dus op een of andere manier de zwaartekracht in rekening brengen. Anderzijds is het ook duidelijk dat de Hamiltoniaan voor elk systeem anders zal zijn. Zo wordt een systeem met geladen deeltjes zoals elektronen natuurlijk door andere wetten beschreven dan de ongeladen planeten in het zonnestelsel. Het systeem zal dan ook een andere Hamiltoniaan hebben.

We weten dus nu dat de evolutie van positie en impuls van elke planeet in het zonnestelsel bepaald wordt door de Hamiltoniaan. Op deze manier kan men de baan van de planeten bepalen. Het is echter duidelijk dat niet elke baan denkbaar ook echt kan bestaan (gelukkig!). Er moeten dus extra voorwaarden aan de Hamiltoniaan opgelegd worden. Een van de meest bekende voorwaarden is het behoud van energie. Dit principe vertelt ons dat energie enkel kan omgezet worden in andere vormen, maar nooit verloren kan gaan. Specifiek betekent dit dat een planeet niet zomaar uit het zonnestelsel kan vliegen. Daar heeft het immers niet genoeg energie voor. Zo’n baan is dus verboden en mag niet voorspeld worden a.d.h.v. de Hamiltoniaan. Behouden grootheden zoals energie zorgen dus voor restricties. Nu die energie is natuurlijk niet het enige dat behouden kan zijn. Zo zal bijvoorbeeld het totale draaimoment behouden zijn (zie een later blogpostje voor meer uitleg hierover).

Elk van deze behouden grootheden zal meer en meer van die restricties opleggen. Als er genoeg behouden grootheden zijn, zullen er zodanig veel restricties zijn dat de impuls van elk deeltje constant moet zijn! Zo’n systeem is dan wel heel erg gemakkelijk om op te lossen en noemt men integreerbaar.[2]

In principe is elk systeem oplosbaar, anders gezegd, de baan van de deeltjes kan altijd (desnoods numeriek) gevonden worden. Integreerbare systemen onderscheiden zich van de rest doordat ze in vergelijking met een normaal systeem zeer gemakkelijk op te lossen zijn. Er bestaan dan ook veel trucjes en methodes om deze systemen op te lossen.

Chaos

Daarnaast zullen integreerbare systemen nooit chaos vertonen.

Druk op de GIF om de slinger te zien bewegen. De dubbele slinger (een slinger bevestigd aan een andere slinger) is een voorbeeld van een chaotisch systeem. Zoals je ziet, lijkt de slinger nooit twee keer hetzelfde doen. Het lijkt compleet onvoorspelbaar wat zijn volgende zet is. Gek, als je bedenkt dat de enkele slinger één van de simpelste systemen in de fysica is…

 

De belangrijkste eigenschap van een chaotisch systeem is dat zijn toekomstig gedrag zéér sterk afhangt van de beginvoorwaarden. Daarmee wordt bedoeld dat twee deeltjes naast elkaar met dezelfde beginsnelheid een volledig andere baan kunnen hebben! Deze twee deeltjes hadden bijna exact dezelfde beginvoorwaarden: ze hadden dezelfde snelheid en bijna dezelfde positie. Maar toch is hun baan volledig anders (zie figuur 3). Dit chaotisch gedrag heeft als gevolg dat het voorspellen van de verre toekomst nagenoeg onmogelijk is, want kleine meetfouten van de beginvoorwaarden zullen leiden tot totaal verschillende banen. Je komt chaos onvermijdelijk tegen in het dagelijks leven: het weer. Het is zeer moeilijk om het weer ver in de toekomst te voorspellen (je kan het Frank echt niet kwalijk nemen). Integreerbare systemen hebben dit probleem niet. Chaotische systemen hebben heel wat opmerkelijke eigenschappen. Bekijk bijvoorbeeld eens het figuurtje in het blogpostje van Lukas om te zien hoe prachtig zo’n chaotisch weersfenomeen er in die zogenaamde faseruimte uitziet.

In het begin (op t=0) starten we vanaf twee punten die naast elkaar liggen. Ze overlappen elkaar bijna. Het is duidelijk dat na een tijdje (na t_{horizon}) de banen van de deeltjes ver uit elkaar gaan. Dit is een eigenschap van een chaotisch systeem.

 

Het is dus duidelijk dat integreerbare systemen veel aangenamer zijn om op te lossen. Jammer genoeg zijn ze ook zeer zeldzaam. Om dit in te zien, keren we terug naar ons voorbeeld van het zonnestelsel. De voorwaarde waarbij dit systeem integreerbaar is, is dat er evenveel behouden grootheden moeten zijn als er positionele vrijheidsgraden zijn. Aangezien we in drie dimensies werken (x, y en z), heeft elk deeltje drie ‘vrijheidsgraden’. Wanneer we dus N planeten in rekening brengen, hebben we 3N behouden grootheden nodig vooraleer dit systeem integreerbaar is! Het zonnestelsel heeft echter maar 6 behouden grootheden (waaronder behoud van energie). Dit betekent dat enkel een systeem met maximaal twee planeten integreerbaar is. Wanneer we dus de baan van de aarde rond de zon berekenen en de invloed van de andere planeten negeren, werken we in een integreerbaar systeem. Voegen we echter de maan toe aan ons systeem, dan hebben we drie deeltjes en is het systeem niet meer integreerbaar. Het is dus duidelijk dat het overgrote deel van de systemen die in de natuur voorkomen niet integreerbaar zijn.

Mijn thesis

Tot nu toe hebben we klassiek gewerkt. We hebben met andere woorden geen rekening gehouden met de kwantummechanica. Het analogon van integreerbaarheid in de kwantummechanica blijkt echter niet zo voor de hand liggend en is nog tot op de dag van vandaag het onderwerp van veel onderzoek. De details hieromtrent zijn niet zo belangrijk. Er is wel een voorstel voor een definitie van kwantumintegreerbaarheid die op zijn minst veelbelovend is. Systemen die aan deze definitie voldoen, hebben immers een methode om hun oplossing te berekenen, de zogenaamde Bethe ansatz. Daarnaast bezitten ze een eigenschap die lijkt op de afwezigheid van chaos.

Het is belangrijk om te weten dat die Bethe ansatz (de methode om een systeem op te lossen) enkel gebruikt kan worden voor integreerbare systemen. Dit is jammer, aangezien we weten dat deze systemen eigenlijk niet vaak voorkomen. Nu zijn er redenen om aan te nemen dat deze methode ook gebruikt kan worden bij niet-integreerbare systemen zolang de temperatuur laag genoeg is.

Dit is precies wat mijn thesis onderzoekt: in hoeverre kan de Bethe ansatz methode gebruikt worden om niet-integreerbare systemen op te lossen.

Jacob Lamers 

Student Master of Sciences in de Fysica & Sterrenkunde

Begeleider: M. Van Damme

Promotoren: dr. L. Vanderstraeten en Prof. dr. J. Haegeman

Approximate Bethe ansatz for a spin ladder.

Bronnen:

  • Jaume Masoliver and Ana Ros. Integrability and chaos: the classical uncertainty. 2010.
  • Strogatz Stephen. Nonlinear dynamics and Chaos. Perseus Books, 1994

 


[1] De impuls is gerelateerd aan de snelheid van het deeltje. Het is vaak niet genoeg om te weten met welke snelheid iets op je afkomt, je wilt meestal ook weten hoe groot de massa is van dat object. Dit kan het verschil zijn tussen een tennisbal die met een snelheid van 120 km/u op je afkomt en een trein die met dezelfde snelheid af komt gereden. Vandaar dat impuls, naast de snelheid, ook de massa van een deeltje mee in rekening brengt.
[2] Een behouden grootheid noemt men soms ook een ‘integraal van de beweging’, vandaar de naam.