Spontane symmetriebreking

Nothing in physics seems so hopeful to as the idea that it is possible for a theory to have a high degree of symmetry was hidden from us in everyday life. The physicist’s task is to find this deeper symmetry.
–
S. Weinberg

Spontane symmetriebreking is een belangrijk concept in verschillende takken van de fysica, zoals statistische mechanica, vastestoffysica, kwantumveldentheorie, en is daarom de moeite waard om even bij stil te staan. Het is mijn bedoeling om de fysische concepten die hierachter zitten, op een duidelijke en verhelderende manier uit te leggen. Voor de mensen waarvan het angstzweet uitbreekt wanneer ze wiskunde zien, geen paniek! Deze tekst is gericht op het grote publiek en zal dus geen formules bevatten. In plaats daarvan zal ik de fysica intuïtief uitleggen, met behulp van figuren en simpele analogieën. Ik wens jullie veel leesplezier en hopelijk steken jullie iets op!

Symmetrie?

Zoals de naam spontane symmetriebreking doet vermoeden zal symmetrie een grote rol spelen in mijn verhaal. Ik wil daarom hieromtrent eerst wat context schetsen door de volgende twee vragen te beantwoorden. Wat is symmetrie en waarom is het zo belangrijk in de fysica?

De eerste vraag kan ik het best beantwoorden met een aantal afbeeldingen in figuur 1. Het eerste voorbeeld, links, toont een pingpong balletje. De bol ziet er hetzelfde uitziet ongeacht de richting vanwaar je kijkt. Anders gezegd, als het balletje gedraaid wordt verandert het uitzicht niet. We spreken daarom van rotatie symmetrie en een ping pong balletje is niets anders dan een concreet voorbeeld van het abstractere concept van een bol (sfeer). Sterker nog, een bol wordt vaak juist gedefinieerd als een object dat rotatie symmetrie heeft. Deze symmetrie is continue. Hoe klein de rotatiehoek ook is, de bol ziet er steeds hetzelfde uit.

Een voorbeeld van een andere symmetrie, namelijk translatiesymmetrie, is afgebeeld in het midden van figuur 1. Het toont een hexagonaal (zeshoekig) rooster en we kunnen zien dat het bestaat uit exacte kopieën van zo’n zeshoek die naast elkaar zijn geplaatst. We kunnen ons voorstellen dat de kopieën doorgaan tot in het oneindige, zowel aan de linker- als rechterkant. In dat geval ziet het rooster er hetzelfde uit als we het verschuiven in beide richtingen. Dit is translatie symmetrie, en fysici zeggen soms wel dat zo’n rooster invariant is onder translatie. In dit geval is de translatie symmetrie discreet, dat wil zeggen dat het rooster er enkel hetzelfde eruitziet als we het verschuiven over een geheel aantal keer de breedte van de zeshoeken. Het rooster ziet er inderdaad hetzelfde uit als we alles zeshoek(en) naar rechts of links verschuiven, maar niet als we maar over een halve zeshoek verplaatsen. Translatie symmetrieën kunnen ook continue zijn, zoals bijvoorbeeld het geval is bij een (oneindig lange) lijn.

Tenslotte vermeld ik nog de reflectiesymmetrie in figuur 1 rechts. We zien dat de rots op het wateroppervlak wordt weerkaatst op zo’n manier dat de onderkant een spiegeling is van de bovenkant. Ook deze symmetrie is discreet, onder spiegeling wordt de bovenkant de onderkant of omgekeerd, maar niets meer. Hou vooral deze symmetrie in het achterhoofd, want ze zal later nog terugkomen.

Enkele voorbeelden van symmetrieën. Links: Een pingpong balletjes ziet er vanuit alle richtingen hetzelfde uitziet en heeft dus rotatie symmetrie. Midden: Een hexagonaal rooster (bv.~grafeen) ziet er hetzelfde uit als het verschoven en vertoont daarom translatie symmetrie. Rechts: Een weerkaatsing op een wateroppervlak kan gezien worden als een horizontale spiegeling (reflectie) en is symmetrisch rond de spiegelas.

Nu dat het duidelijk is wat een symmetrie inhoudt rest ons nog de vraag waarom fysici er zoveel belang aan hechten. Een eerste reden is dat we dankzij het zogenaamde theorema van Noether weten dat er met elke symmetrie een behouden grootheid overeenkomt. Deze worden ook wel eens de bewegingsconstanten genoemd en zijn zeer handig voor het berekenen en oplossen van fysische systemen of problemen. Vanuit een puur wiskundig standpunt kunnen symmetrieën gebruikt worden om vergelijkingen te versimpelen en zo gemakkelijker tot een oplossing te komen. Finaal is er nog een eerder filosofische reden. Het blijkt namelijk dat vrijwel alle fysische fenomenen kunnen geïnterpreteerd worden vanuit één of andere symmetrie. Op deze manier zijn symmetrieën een fundamenteel aspect van de natuur en zijn ze cruciaal in het begrijpen en beschrijven van de realiteit.

Symmetriebreking!

Het is waarschijnlijk een beetje ironisch dat de vorige sectie gewijd is aan het belang van symmetrie terwijl we het nu gaan hebben over “symmetriebreking”. Het breken van symmetrie is nochtans even belangrijk als de symmetrieën zelf. Spontane symmetriebreking zorgt namelijk voor langeafstandsorde in materialen. Hiermee bedoel ik dat een materiaal of fysisch systeem patronen vormt op (relatief) grote afstanden. Een goed voorbeeld hiervan zijn faseovergangen, zoals het smelten van ijs en het verdampen van water. Laat ons focussen op het condenseren van waterdamp naar vloeibaar water om wat intuïtie te scheppen. Waterdamp is een gas, wat betekent dat de individuele moleculen waaruit de damp bestaat, vrolijk en vrij, kriskras door elkaar bewegen. Wanneer de temperatuur echter onder 100 °C zakt, condenseert het gas abrupt in waterdruppels, die groter en groter worden totdat het water uiteindelijk volledig vloeibaar is geworden. Bekeken vanop het niveau van de moleculen is dit een ietwat bizar gebeuren. Inderdaad, tijdens de fase overgang gaan de moleculen collectief samenklitten om een bepaalde structuur te vormen die we waterstofbruggen noemen en macroscopisch zich manifesteert als vloeibaar water. Er is dus een abrupte overgang van ‘wanorde’ (gas) naar ‘orde’ (vloeibaar) tijdens de faseovergang. In termen van symmetrie is de gasfase invariant onder een continue translatie, terwijl het rooster van waterstofbruggen in de vloeibare fase maar een discrete translatie symmetrie meer heeft. De symmetrie is dus (deels) gebroken als gevolg van de fase overgang! Kwalitatief wordt de symmetriebreking beschreven met een zogenaamde ordeparameter waarvan de waarde abrupt verandert op de fase overgang.

Om het woord “spontaan” in “spontane symmetriebreking” te verduidelijken gebruik ik een simpele analogie. We stellen ons een groep mensen voor die rond een ronde tafel zitten. Voor iedere persoon staat een bord met aan de zijkant een mes (maakt niet uit welke kant). Iedereen heeft dus de keuze tussen het mes links of rechts van hun, m.a.w. alles is symmetrisch tussen links en rechts. Dit is exact de reflectie symmetrie waar ik het hierboven over had. Van zodra dat iemand echter een keuze maakt door een mes te nemen, hebben de andere personen geen opties meer.

Inderdaad, stel dat iemand het mes rechts van hem/haar neemt. Dan kan zijn/haar rechter buur enkel nog het mes rechts van hem/haar nemen zodat er geen keuze meer is. Hetzelfde geldt voor de volgende persoon rechts en de persoon rechts daarvan, enzovoort. Dit gaat zo heel de cirkel rond totdat iedereen rechts een mes vast heeft. Er is nu geen reflectie symmetrie meer en deze is dus spontaan gebroken. Wel nu, de eerste persoon had evenwel het mes links kunnen nemen. In dat geval zou de symmetrie ook gebroken zijn maar nu zodat iedereen een mes links van zich heeft. Als we deze toestand spiegelen dan verandert het mes van kant en komen we in de andere toestand terecht, waar iedereen rechts van zich een mes heeft. Voorheen deed een reflectie niets (want het was een symmetrie) maar nu worden de mogelijke toestanden na symmetrie breking er door in elkaar omgezet.

Mijn thesis

Tot slot wil ik nog de link met mijn masterthesis uitleggen. Hiervoor heb ik een afbeelding uit mijn thesis gehaald (figuur 2). We kunnen ons inbeelden dat het rode bolletje een knikker voorstelt die over de blauwe lijn kan rollen. Initieel staat de knikker op de heuvel in het midden. Deze toestand is onstabiel aangezien een klein duwtje voldoende is om de knikker naar rechts (of links) te laten rollen. Dit wordt getoond met de groene pijl. Uiteindelijk zal de knikker tot stilstand komen in het dal. Dit is een stabiele toestand, die echter geen reflectie symmetrie meer heeft. Inderdaad de reflectiesymmetrie is gebroken en wel op een zodanige manier dat een reflectie de knikker van het rechter naar het linker dal brengt (en omgekeerd moest de knikker naar links zijn gegaan). De twee uiteindelijke toestanden worden door de reflectie symmetrie dus in elkaar omgezet (zie je de analogie met de ronde tafel en messen van hierboven?). Wat hier belangrijk is dat de rode toestand overeenkomt met een orderparameter die nul is terwijl die in de finale, groene toestand duidelijk een niet-nul waarde aanneemt. In de context van mijn thesis (en kwantumveldentheorie) is die ordeparameter de massa van de elementaire deeltjes (zoals protonen, elektronen, neutronen,) zodat spontane symmetriebreking een mechanisme is om massa te genereren! Een (iets ingewikkeldere) variant van dit is het zogenaamde Brout-Higgs-Englert mechanisme waarvan je mogelijks al eens gehoord hebt in het nieuws. Onze landgenoot François Englert kreeg namelijk voor zijn ontdekking hiervan de Nobelprijs Natuurkunde in 2013 (samen met Peter Higss).

Daan Maertens 

Student Master of Science in de Fysica \& Sterrenkunde

Begeleider: G. Roose

Promotor: dr. K. Van Acoleyen

Thermalization of False vacuum in the Gross-Neveu Model