Alhoewel de titel vreemd klinkt, gaan we niet meten wat de snelheid is van een stuk suikervrije chocolade. Snelheid is immers relatief, dus we kunnen simpelweg meebewegen met het stuk en zeggen dat de snelheid nul is. We gaan wel iets anders meten: vorig jaar maten we de geluidssnelheid en nog eerder hielden we een brainstorm over de one-way speed of light. Deze week gaan we dat laatste eens proberen meten, de two-way speed weliswaar, maar dan op een lekkere manier om het jaar goed in te zetten. Je hebt niet veel nodig voor dit experiment:

Een microgolfoven
Een reep chocolade: liefst zo homogeen mogelijk. Welke soort maakt niet uit, maar zwart is het lekkerst. (Als alternatief kan een snee kaas gebruikt worden.)
Een meetlat of iets dergelijks

We zullen beginnen met de fysische principes achter dit experiment om dan het experiment zelf uit te leggen. Er zal ook wat foutenrekening aan te pas komen, want geen enkele meting heeft oneindige precisie.

Staande Golven

Uit de Wetten van Maxwell in vacuüm volgt het bestaan van elektromagnetische golven, licht dus. Wat er ook uit volgt is dat deze zich aan de lichtsnelheid $c$ voortplanten, wat menig fysicus wel eens aan één durft gelijk te stellen: $c=1$ . In SI-eenheden is deze waarde echter

(1) $\begin{equation*}c = 299~792~km/s,\end{equation*}$

wat ook de bovenlimiet is op de snelheid dat een deeltje kan bereiken volgens Einsteins relativiteitstheorie.

Het experiment maakt gebruik van het fysische fenomeen van staande golven.

Beeld je een touw in dat aan beide kanten wordt vastgehouden, door aan de ene kant eens omhoog en weer omlaag te zwaaien, doen we een lopende golf ontstaan. Deze golf beweegt zich voort tot het andere uiteinde waar het weerkaatst en terug de andere kant uitloopt. Als we nu aan een vast tempo golven blijven maken, dan zullen de heengaande en teruggaande golven met elkaar beginnen interfereren. Het resultaat is dan simpelweg de som van de heen- en teruggaande golven. Er zijn speciale frequenties waarvoor beide golven zodanig interfereren dat er een staande golf ontstaat, de golf lijkt zich dan niet meer voort te planten. Zo’n golf ziet er doorgaans uit als een sinusoïde waarbij de toppen/dalen en de nodes, waar het touw effectief in rust is, op dezelfde plek blijven.
Zo’n golf wordt beschreven door drie grootheden: de golflengte $\lambda$ is de afstand tussen twee opeenvolgende toppen, dalen of nodes (zoals weergegeven in onderstaande figuur).

Een sinusoïdale golf met de grootheden weergegeven

Deze golf beweegt aan een bepaalde snelheid $v$ en de tijd die het duurt om een afstand gelijk aan de golflengte af te leggen wordt de periode $T$ genoemd. De frequentie $\nu$ is dan het aantal periodes dat een golf kan afleggen in 1 seconde:

(2) $\begin{equation*}\nu = \frac{1}{T}\end{equation*}$

De natuurlijke eenheid van frequentie is de Hertz, $1~Hz = 1/s$ , vernoemd naar Heinrich Hertz, de eerste fysicus die het bestaan van elektromagnetische golven experimenteel aantoonde. Tussen deze vier grootheden bestaat een simpel verband waarvan wij gebruik zullen maken:

(3) $\begin{equation*}v = \frac{\lambda}{T} = \lambda \cdot \nu\end{equation*}$

De snelheid is immers de afstand die het aflegde gedeeld door de tijd dat het duurde. We gaan ervan uit dat de snelheid constant blijft, dus we hoeven niet met gemiddelde waarden te werken.
De formule die de frequenties berekent waarvoor er staande golven optreedt in een touw met lengte $L$ is

(4) $\begin{equation*}L = n \frac{\lambda}{2}\end{equation*}$

met $n$ een natuurlijk getal. Staande golven treden dus op wanneer in het touw een natuurlijk aantal keer de halve golflengte past, hieruit volgt dat het aantal nodes dan onmiddellijk gelijk is aan $n-1$ .
Verder nog kan deze formule omgevormd worden tot

(5) $\begin{equation*}\nu = n \frac{v}{2L}\end{equation*}$

Wie wat af weet van muziek, de laagste waarde wordt de grondtoon genoemd ( $n=1$ ), de andere tonen zijn dan alle een veelvoud van deze grondtoon, de boventonen genoemd. Aangezien onze microgolfoven met elektromagnetische golven werkt, kunnen we dit spelletje nu herhalen, maar in drie dimensies. Onze microgolfoven ziet er uit als een balk met lengtes $(L_x, L_y, L_z)$ (figuur hieronder) en er treden op dezelfde manier staande elektromagnetische golven op voor

(6) $\begin{equation*}\nu = \frac{c}{2}\sqrt{\left(\frac{n_x}{L_x} \right)^2 + \left(\frac{n_y}{L_y} \right)^2 + \left(\frac{n_z}{L_z} \right)^2}\end{equation*}$

met golfgetallen $n_i \in \mathbb{N}, i=x,y,z$ .

Het Experiment

Het experiment bestaat erin om gegeven $\nu, \lambda$ de lichtsnelheid $c$ te bepalen. Daarvoor maken we gebruik van onze microgolfoven die zelf elektromagnetische straling uitzendt op een bepaalde frequentie, dit is meestal
af te lezen van een etiket op de microgolfoven zelf (binnenin of aan de achterkant) of staat vermeld in de handleiding.
Voor mij komt dit neer op

(7) $\begin{equation*}\nu = 2450 \pm 50~MHz\end{equation*}$

met $1~M Hz = 10^6 Hz$ . Op het tweede getal komen we later nog terug.
We willen de plaatsen van maximale amplitude visualiseren a.d.h.v. de plekken op de reep chocolade die het meest gesmolten zijn. Belangrijk daarvoor is dat de draaiende plaat er wordt uitgehaald, deze zorgt er juist voor dat het voorwerp homogeen wordt opgewarmd. Je schermt best ook het draaimechanisme af door er, bijvoorbeeld, een kom omgekeerd over te plaatsen. Je laat de chocolade best niet te lang in de microgolfoven, kwestie dat hij niet helemaal verbrandt.
Eenmaal dat gedaan is kan je om de golflengte te bepalen de afstand tussen de twee meest gesmolten plekken meten. Let wel op, dit is de halve golflengte $\lambda_{1/2}$ aangezien dit de afstand is tussen een maximum en een minimum respectievelijk in de geanimeerde gif.
Nu de meting achter de rug is, kan je de lichtsnelheid bepalen. Waarschijnlijk zal jouw meting in $cm$ staan, aangezien we uiteindelijk een resultaat willen bekomen in $km/s$ moet jouw meting nog gedeeld worden door $10^5$ .
De volledige formule luidt dus

(8) $\begin{align*}c[km/s] &= 10^6 \cdot \nu[MHz] \cdot 10^{-5} \cdot 2 \lambda_{1/2}[cm] \nonumber \\&= 20 \cdot \nu[MHz] \cdot \lambda_{1/2}[cm] \end{align*}$

Wat voor mij een waarde geeft van

(9) $\begin{equation*}c = 308~700~km/s\end{equation*}$

voor een meting van $\lambda_{1/2} = (6.3 \pm 1)~cm$ .
Om te kijken hoeveel deze procentueel afwijkt van de echte waarde $c_0$ maken we de volgende berekening

(10) $\begin{equation*}\sigma = \frac{|c - c_0|}{c_0}\end{equation*}$

Wat in mijn geval een afwijking geeft van $2.9~\%$ , wat zeker niet slecht is voor zo’n simpel experiment! (*)

De Absolute Fout

Op elke meting die men doet zit een inherente fout. Deze fout komt door de eindige precisie van onze meetinstrumenten en is onvermijdelijk. We kunnen wel deze fout minimaliseren door geen afleesfouten te maken en door steeds nieuwe instrumenten te ontwikkelen die preciezer zijn dan de vorige. De fout die we bekomen door te meten wordt de absolute fout genoemd. Bij een gegeven waarde wordt dit er meestal bijgezet als $\pm x$ . Bij mijn microgolfoven is dat dus de $\pm 50~MHz$ die de fabrikant vermeldt. Voor een meting is de absolute fout doorgaans de helft van de nauwkeurigheid van het gebruikte meettoestel.
Neem nu bijvoorbeeld een spanningsmeter, als de meter een waarde aanduidt tot op $0.1~V$ , dan is de absolute fout op elke meting $0.05~V$ . Dit is logisch, want zo hou je rekening met afronding. Voor de meetlat is de nauwkeurigheid meestal tot op $1~mm$ , dus de absolute fout is $0.5~mm$ . Echter, als je meet dan lees je eigenlijk telkens tweemaal af: je leest de effectieve waarde af, maar ook bij het plaatsen van het nulpunt maak je een fout. De absolute fout bij deze meting is dus $1~mm$ . De absolute fout op $\lambda_{1/2}$ is dus gelijk aan de nauwkeurigheid van jouw meettoestel zelf.

Bij deze meting is het ook belangrijk dat je geen parallaxfout maakt. Dit gebeurt wanneer je niet loodrecht op de ijkstreep kijkt, zoals in de figuur hieronder weergegeven. Anders zal door de schuine inval de ijkstreep verder/dichter lijken te staan dan het werkelijk is. Indien je al eens een practicum chemie gemaakt hebt, dan zal de leerkracht je hiermee ook geplaagd hebben bij het aflezen van de meniscus.

Parallaxfout bij het afmeten van de meniscus.

Gegevensverwerking

Hierboven vind je, zoals de vorige keer, een spreadsheet terug waarop je jullie waarden kan invullen. Belangrijk is dat je ook telkens de fout op de frequentie, indien vermeld, en op jouw meting invult. Hoe we dan een fout bepalen voor de lichtsnelheid is voor de volgende keer. Als er genoeg resultaten zijn dan kunnen we onze metingen op twee manieren uitmiddelen en een gemiddelde waarde vinden voor de lichtsnelheid. Hopelijk ligt die niet te ver van de echte waarde.
Indien er gehele klassen hun resultaten willen doorgeven, dan mag jullie school en klas ook vermeld worden op de spreadsheet of je mailt dit even door naar mij: julian.devuyst@ugent.be
Wie liever naar de uitleg kijkt, kan dat hier bekijken (strategisch op het einde geplaatst).

(*) Met dank aan Sarah Vervalcke voor de meetresultaten, mijn metingen mislukten telkens…

door Julian De Vuyst