Euler's disk | Vereniging voor Natuurkunde

Verveling en kinderspeelgoed

Heb je wel eens uit verveling een 2-eurostuk doen ronddraaien? Dan heb je misschien gemerkt dat het rinkelende geluid op het einde een hogere toon heeft dan in het begin. Als je naar het muntstukje kijkt terwijl het tot stilstand komt, kun je zien dat het op het laatst steeds sneller beweegt. Dat is niet zo intuïtief! In wat volgt, probeer ik aan de hand van wat klassieke mechanica uit te leggen waarom de toonhoogte omhoog gaat.
Wat gebeurt er nu precies met zo’n muntje voor het “uitgedraaid” op tafel neervalt? In essentie volgt een draaiend eurostuk, en bij uitbreiding elk ander schijfje dat zwaar genoeg is, het principe van een tol. Ik hoop dat iedereen nog min of meer bekend is met dit ietwat verouderde kinderspeelgoedje. Een tol draait dus om zijn symmetrieas. Die symmetrieas zou mooi verticaal blijven als we er in geslaagd waren de tol perfect axiaal-symmetrisch aan het draaien te brengen. We zijn helaas niet zo behendig, dus het minieme duwtje dat we in één of andere richting geïntroduceerd hebben, zal ervoor zorgen dat de zwaartekracht een handvat heeft om de tol naar beneden te trekken. Deze neerwaartse kracht van de zwaartekracht combineert met de rotatiesnelheid van de tol op zodanige manier dat de zwaartekracht eigenlijk pas verder gevoeld wordt dan de plaats van het “handvat”, waar het zwaartepunt een klein beetje overhelt. De as van de tol kantelt dus een beetje verderop in de rotatie, waar we de redenering die we net gemaakt hebben, kunnen herhalen. Om een lang verhaal kort te maken: de tol begint een precessiebeweging uit te voeren. Een muntstuk doet net hetzelfde, met dat verschil dat het niet axiaal-symmetrisch is en geen punt heeft om op te staan. In plaats daarvan rolt het langs één van zijn randen. De geometrie wordt getoond in figuur 1, die ik dankbaar uit een artikel in Nature heb geplukt.

Klassieke mechanica

Een kleine waarschuwing: in deze paragraaf haal ik mijn Grieks alfabet boven voor een paar vergelijkingen. Wees niet bang! Je hoeft de afleidingen niet zelf te doen om het verhaal te kunnen volgen.
We zullen zien dat de hoeksnelheid $\Omega$ waarmee het schijfje precesseert gelinkt kan worden aan de hoek $\alpha$ tussen het schijfje en de tafel. Noem $\Omega_d$ de hoeksnelheid waarmee de schijf roteert omheen zijn symmetrieas die loodrecht op het vlak van het muntstuk staat. Het muntstuk kan enkel “rollen” als $\Omega_d = \Omega \cos(\alpha)$ . De absolute hoeksnelheid is bijgevolg $\vec{\omega} = \Omega\cos(\alpha) \vec{e}_d - \Omega \vec{e}_z$ of dus $\omega = \vec{\omega}\cdot\vec{e} = -\Omega\sin(\alpha)$ .
Deze hoeksnelheid kunnen we gebruiken om de energie van het systeem te berekenen. De energie is dan $E = \frac{3}{2}Mga\sin(\alpha)$ met $M$ de massa en $g$ de gravitatieversnelling.
Een belangrijke relatie is deze tussen $\Omega$ en $\alpha$ . Deze volgt uit wat we de “bewegingsvergelijking” noemen. Dit is niets anders dan de $\vec{F} = m\vec{a}$ , of “kracht is massa maal versnelling”, waar we allemaal in het middelbaar mee geplaagd zijn geweest. Voor ons systeem gebruiken we de rotationele variant van die vergelijking, namelijk $\tau = \frac{dL}{dt}$ met $\tau$ de torsie (of het koppel) en $L$ de draai-impuls van de schijf, die gegeven wordt door $L = I\omega \vec{e}$ . Hierin is $I$ het inertiaalmoment, een soort veralgemening van de massa, voor een schijf die roteert omheen een diagonaal.
Het product van een massa en een snelheid is iets waar fysici een nieuwe naam voor bedacht hebben: impuls. Gaat het over een draaisnelheid, zoals onze $\omega$ hier, dan spreken we over “draai-impuls”.
De functionele vorm van $I$ haal je natuurlijk even snel van Wikipedia en de torsie in het linkerlid van de bewegingsvergelijking is deze ten gevolge van de zwaartekracht. Het eindresultaat is dat $\Omega^2\sin(\alpha) = 4g/a$ . De wiskundig aangelegde lezer weze hierbij uitgenodigd dit voor zichzelf aan te tonen :). Wat je moet onthouden uit deze uiteenzetting is dat de hoek tussen de tafel en het muntstuk in direct verband staat met de precessiesnelheid (of de rolsnelheid). Als de hoek klein is, kun je $\sin{\alpha}$ bovendien nog benaderen door $\alpha$ , zodat $\Omega^2\alpha = 4g/a$ .

Een likseltje… lucht

In onze niet-ideale wereld is de energie $E$ niet constant. OEI?! Nee, dat is normaal. De energie lekt van ons systeem, het muntstuk, naar de omgeving, de lucht en de tafel ten gevolge van wrijving. Het belangrijkste energieverlies komt van het luchtlaagje tussen het schijfje en de tafel. Lucht heeft namelijk viscositeit of “plakkerigheid”, net als honing. De wrijving is daar het grootst omdat de honing er aan 2 oppervlakken plakt: de tafel en het muntstuk. De verandering van energie ( $dE$ ) met de tijd ( $dt$ ) gaat als $\frac{dE}{dt} \propto \frac{d\alpha}{dt}$ , want de enige grootheid in $E$ die verandert tijdens het draaien is de hoek $\alpha$ . Als we even alle andere soorten wrijving negeren, dan kunnen we $\frac{dE}{dt}$ gelijkstellen aan de dissipatie ten gevolge van viscositeit. Deze wrijvingsterm blijkt gelijk te zijn aan $\Phi = \pi \mu g a^2 / \alpha^2$ . Neem dit aan van mij. We hebben dus $\frac{dE}{dt} = -\Phi$ , wat gemakkelijk opgelost kan worden naar $\alpha$ .

Sorry voor de wiskunde. Hier is een prentje van Winnie-de-Pooh om het goed te maken.

Een “eindige” singulariteit

We vinden dat $\alpha = 2\pi (t_0 - t)\mu a/M$ met $t_0$ een constante, afkomstig uit de integratie, waaruit blijkt dat $\alpha$ nul wordt op een eindig tijdstip $t = t_0$ . Met andere woorden, het muntstuk valt plat op tafel na een tijd die niet oneindig is, zoals we verwachten. Allemaal goed en wel, maar waarom is dit interessant? Het is interessant om de reden die ik eerder al vermeldde: $\alpha$ is gelinkt aan de hoeksnelheid van precessie en wel volgens $\Omega \approx (t_0 - t)^{-1/6}$ . Dit is een behoorlijk singuliere uitdrukking, waarmee ik bedoel dat de hoeksnelheid zeker naar oneindig gaat wanneer $t$ gelijk wordt aan de eindige constante $t_0$ . Deze singulariteit kun je ook horen als je met het muntstuk aan het spelen bent. De frequentie van het gerinkel blijft stijgen tot het muntstuk stilvalt!

Voor wie niet onder de indruk is

Een muntstuk rinkelt niet lang genoeg om veel geniet te hebben van dit effect. Hoe lichter het object hoe sneller de energie dissipeert. Het wordt een stuk spectaculairder wanneer het schijfje groter en zwaarder wordt. Probeer dit gerust zelf uit als je geschikte voorwerpen vindt! Bekijk zeker ook eens volgend YouTube filmpje:

Hier wordt een zware stalen schijf gebruikt, die bovendien kleurrijke lichteffecten teweeg brengt tijdens het draaien. Dit educatieve speelgoedje is speciaal gemaakt om lang te draaien.
De moraal van mijn verhaal? Fysica is overal. Blijf verwonderd!

Bronnen:

H.K.Moffat (2000) Euler’s disk and its finite-time singularity. Nature 404, 833–834

door Sarah Vervalcke