Atoombommen, Sir Taylor en de ontploffing in Beiroet

Naar aanleiding van de gruwelijke ontploffing in de haven van Beiroet (Libanon) op 4 augustus en de 75-jarige herdenking van de atoombom op Hiroshima, geven we wat meer toelichting bij deze rampen en berekenen we de kracht van de ontploffing in Beiroet.

Atoombommen: Hiroshima en Nagasaki

Het is vandaag, 6 augustus, exact 75 jaar geleden dat de atoombom “Little Boy”, gedropt door de Amerikaanse B-29 “Enola Gay”, omstreeks 08h15 boven Hiroshima ontplofte. Deze (uranium) atoombom resulteerde in het verlies van ongeveer 140.000 mensenlevens – zowel door de explosie zelf en de effecten erna – en veegde de stad grotendeels van de kaart, waarbij 70% van haar gebouwen vernield werden.
Enkele dagen later, op 9 augustus 1945, werd een tweede atoombom (ditmaal een plutonium implosiebom, “Fat Man”) gedropt boven Nagasaki, waarbij ongeveer 70.000 mensen het leven lieten. Het resultaat van deze twee bombardementen leidde tot de versnelde capitulatie van Japan in de Tweede Wereldoorlog, die plaatsvond op 15 augustus 1945.

De paddenstoelwolken boven Hiroshima en Nagasaki respectievelijk.

Trinity Test en Sir Geoffrey Ingram Taylor

Sir G.I. Taylor was een Brits fysicus en wiskundige, die een heel belangrijke rol speelde in vloeistofdynamica, meteorologie en golffysica (met als gevolg dat veel variabelen in de vloeistofdynamica zijn naam dragen).

Sir G.I. Taylor

Door zijn enorme kennis binnen deze domeinen, nam hij deel aan het Manhattan Project in de ontwikkeling van de voorgaande atoombommen, waar hij hielp bij de schokgolfpropagatie-problemen en om de implosie-instabiliteiten op te lossen die aanwezig waren bij de plutonium atoombom.

Een welbekend verhaal met Sir Taylor in de hoofdrol is die van de Trinity Test, waarbij de allereerste atoombom ter wereld getest werd in New Mexico in 1945. De sterkte van deze bom was aanvankelijk één van de grootste geheimen bij het Amerikaanse leger. Dit was buiten Sir Taylor gerekend, die aanwezig was bij deze tests en gevraagd werd om de kracht van deze bommen te achterhalen. Hij kon een heel goede schatting maken door foto’s van de explosie te analyseren, die later werden vrijgegeven. Vaak wordt dit verhaal verteld in context van dimensie-analyse [1], wat gebruikt kan worden om zo een schatting te bekomen. Uiteindelijk vond hij een waarde van 22 kton TNT ten opzichte van de werkelijke waarde van 20 kton TNT, nog voordat deze gegevens openbaar gemaakt werden!

De ontploffing in Beiroet

Aan de hand van dimensie-analyse kunnen we ruwweg een antwoord vinden voor wat de kracht van de ontploffing in de haven van Beiroet (Libanon) was afgelopen week. Er wordt gedacht dat een grote opslag ammoniumnitraat, aanwezig in een pakhuis van de haven, de oorzaak was van deze tragedie, waarbij er veel slachtoffers vielen en een immense materiële schade in de stad zelf.

We gaan in de berekening ervan uit dat de fireball zich radiaal uitzet en dat zijn straal $R$ afhangt van de dichtheid $\rho$ van de lucht, de energie $E$ die vrijkomt door de ontploffing en de tijd $t$ . Dit vertaalt zich in volgende vergelijking, met nog onbekende machten $\alpha$ , $\beta$ en $\gamma$ :

$R = \rho^\alpha E^\beta t^\gamma$

De dimensie-analyse vereist dan dat:

$[L] = \left( \frac{[M]}{[L]^3} \right)^\alpha \left( \frac{[M] [L]^2}{[t]^2} \right)^\beta [t]^\gamma$

Zodat we een stelsel van vergelijkingen verkrijgen voor respectievelijk de massa-, lengte- en tijdschaal:

$\begin{align*} 0 &= \alpha + \beta\\ 1 &= - 3 \alpha + 2 \beta\\ 0 &= -2 \beta + \gamma \end{align*}$

Uiteindelijk vinden we dus dat de straal $R$ van de fireball als volgt afhangt van dichtheid, energie en tijd:

$R \propto \rho^{-\frac{1}{5}} E^{\frac{1}{5}} t^{\frac{2}{5}}$ ,

anders geschreven:

$R = \left(\frac{E t^2}{C \rho} \right)^{\frac{1}{5}}$ .

De constante $C$ hierboven is dimensieloos en kan experimenteel bepaald worden (met als waarde 1.033). De waarde voor de dichtheid is deze van lucht en dus 1.225 kg/m³.

Het enige dat ons resteert is het verband tussen de straal van de vuurbol en de tijd te analyseren. Hiervoor kunnen we gebruik maken van video’s die circuleren op het internet, zoals deze. Hieronder staan enkele snapshots van de video waarin de vuurbol te zien is:

Uit de tweede figuur kunnen we achterhalen wat het verband is tussen de pixels op de video en de fysieke afstand (via Google Maps). Zo blijkt dat de werkelijke afstand tot het pakhuis 40 m is waardoor we dus de werkelijke afstand op de video kunnen afleiden.

We kunnen ervan uitgaan dat de video aan een standaard 30 frames per seconde opneemt, waardoor elke frame dus een tijd 1/30 s voorstelt. Hierdoor hebben we enkele datapunten die we kunnen fitten met vorige formule (waarbij we een ruime fout veronderstellen van 20 m op de afstandschatting, in het blauw). De rode lijn is de gefitte curve aan de hand van vorige formule en de grijze zone is één (systematische) standaardafwijking (uit de fitprocedure) verwijderd hiervan.

Uit deze fits blijkt dat we een energie verkrijgen van $4.978 \times 10 ^{12}$ J, of vertaald in het equivalent van ton TNT (1 J = $2.39006 \times 10^{-10}$ ton TNT): $1.189$ kton TNT, wat in lijn is met de gerapporteerde waarden in de media (en afgeleid louter door dimensie-analyse!).

Opmerking:

Bij fouten in de berekeningen/suggesties, gelieve ian.bauwens@ugent.be te contacteren. Thanks!

Bronnen:

[1] Taylor’s berekeningen waren in realiteit complexer – met dus een nauwkeuriger antwoord – dan hetgeen wij gebruiken, zie links hierboven.

door Ian Bauwens