vlnr: Roger Penrose, Reinhard Genzel en Andrea Ghez

De Nobelprijs voor natuurkunde – ter waarde van 10 miljoen Zweedse kronen – werd op 6 oktober 2020 uitgereikt voor de helft aan

Roger Penrose (Oxford University)

voor zijn ontdekking dat zwarte gaten een robuuste voorspelling zijn van de algemene relativiteitstheorie van Einstein.

en voor de andere helft aan

Reinhard Genzel (Max Planck Instituut, Garching & University of California, Berkeley) en Andrea Ghez (University of California, Los Angeles)

voor hun ontdekking van het supermassief zwart gat in het centrum van onze Melkweg.

Voor het tweede jaar op rij ging er een Nobelprijs naar de kosmologie en astrofysica; niet in het minst in de nasleep van de foto die vorig jaar in april viraal ging van het supermassieve zwarte gat in sterrenstelsel M87.

Bovenstaande foto van het zwarte gat – ook wel het “oog van Sauron” genoemd – in het elliptische sterrenstelsel M87 werd gemaakt met de “Event Horizon Telescope”, wat in feite niet één telescoop is, maar een heel netwerk van (radio)telescopen. Door de data van vele schotels te combineren kon men in feite één reuzetelescoop construeren die voldoende resolutie bezat om zowel de fotonengordel rond de waarnemingshorizon als de schaduw van het zwarte gat in beeld te brengen.

Laat ons beginnen bij Sir Roger Penrose, een Britse hoogleraar wiskunde van ondertussen 89 jaar. Je kent hem van boeken als The Emperor’s New Mind (een manifest tegen de mogelijkheid van sterke artificiële intelligentie), The Road to Reality (de bijbel voor menig fysicus en sympathisant) en The Nature of Space and Time, waarin ie samen met wijlen Stephen Hawking over kosmologie schrijft. Penrose won de Nobelprijs voor werk dat hij in de jaren ’60 verrichte in verband met zwarte gaten. Meer bepaald bewees hij dat als een ster instort onder haar eigen gewicht, vanaf een zeker punt niets de zwaartekracht nog kan tegenhouden om een singulariteit te vormen. Een singulariteit, een punt met oneindige dichtheid waar ruimte en tijd ophouden met bestaan. Een punt waar de wetten van de fysica het compleet laten afweten. Als jouw hersenen net ook plots hebben opgehouden met bestaan, geen zorgen. Laat ons eerst eens bekijken wat een zwart gat in hemelsnaam is.

Dodelijke sterren

Typisch spreekt men van zwarte gaten als objecten waar de zwaartekracht zodanig sterk is dat zelfs licht niet kan ontsnappen (vandaar “zwart”). Hoe moeten we dat begrijpen? Als men vanop aarde wil weten hoe veel beginsnelheid we een raket moeten geven, zodanig dat die niet terugvalt op de aarde als hij zijn motoren uitzet in de ruimte, dan gebruiken we daar simpelweg de wet van behoud van energie voor. De initiële energie is

(1) $\begin{equation*} \text{kinetische energie} + \text{gravitationele potentiële energie} = \frac{mv^2}{2} - \frac{GmM}{r}, \end{equation*}$

waarbij $m$ de massa van de hypothetische raket is, $M$ de massa van het hemellichaam waarvan je wil ontsnappen, $v$ de snelheid die je de raket geeft en $r$ de afstand tot het middelpunt van het lichaam. $G$ is een constante.

In de finale toestand willen we dat onze raket het lichaam niet meer ‘voelt’, dus het mag geen potentiële energie meer ondervinden. Dit betekent dus dat $r=\infty$ . Inderdaad, de raket moet oneindig ver kunnen gaan als we hem een snelheid geven die minstens de ontsnappingssnelheid is van de aarde. En op oneindig zal de raket stil komen te staan, m.a.w. ook zijn kinetische energie wordt 0. Als we initiële en finale energie aan elkaar gelijk stellen, vinden we dat

(2) $\begin{equation*} v_{\text{ontsnapping}} = \sqrt{\frac{2GM}{r}}. \end{equation*}$

Stel nu dat de raket een lichtdeeltje is met snelheid $c$ . Als iemand tegen jou zegt dat “licht niet kan ontsnappen van een zwart gat”, dan wil dat zeggen dat als het lichtdeeltje binnen de sfeer met straal

(3) $\begin{equation*} R_S = \frac{2GM}{c^2} \end{equation*}$

zit, dat het er niet meer uitkan (licht kan immers niet sneller dan het licht gaan). Dit vind je door gewoon de vorige vergelijking om te vormen en $v_{\text{ontsnapping}} = c$ in te vullen. Dit is een bijzonder resultaat, en hiervoor hadden we de theorie van Einstein niet eens nodig! Dit obscure idee werd al in de 18^eeeuw geopperd door de Engelse monnik John Michell. De straal $R_S$ die we berekenden, wordt de Schwarzschildstraal genoemd, naar één van de legendes van de relativiteitstheorie die nog geen 2 maanden nadat Einstein zijn vergelijkingen publiceerde, een eerste oplossing gaf voor het geval van een niet-roterende, bolsymmetrische massaverdeling. Om een gevoel voor schaal te geven: de Schwarzschildstraal van de zon is ongeveer drie kilometer, die van de aarde iets minder dan een centimeter.

Karl Schwarzschild, John Michell, en een simplistische weergave van het Schwarzschild zwarte gat.

Een zwart gat heeft echter heel wat meer subtiliteiten dan het feit dat het onnoemelijk zwart is. En daarvoor zullen we Einstein zijn algemene relativiteitstheorie nodig hebben, kort samengevat door John Wheeler:

Spacetime tells matter how to move.
Matter tells spacetime how to curve.

Met andere woorden, het ruimtetijdweefsel is een dynamisch raamwerk, dat kromt naargelang de massa van objecten die erin leven. Bovendien bewegen vrije waarnemers (zij die dus niet valsspelen en raketmotoren gebruiken) op zogenaamde geodeten, trajecten die de kortste afstand tussen twee punten in de ruimtetetijd beschrijven.

Vliegtuigen nemen steevast de kortste afstand tussen twee punten (gelukkig maar). Geprojecteerd op een tweedimensionale kaart is dat een gebogen lijn (in roze), en geen rechte lijn. Op een gekromd oppervlak zoals de aardsfeer hier zijn de geodeten grote cirkels (de snijding tussen de sfeer en een vlak dat door het middelpunt van de sfeer gaat).

De afstand tussen twee gebeurtenissen (in ruimte én tijd) in de ruimtetijd wordt gegeven door de metriek; in een lege ruimtetijd (zonder massa die voor kromming zorgt)

(4) $\begin{equation*} ds^2 = \Delta x ^2 - c^2 \Delta t^2. \end{equation*}$

Met andere woorden, voor een lichtstraal (waarvoor $\Delta x = c \Delta t$ ), is de ‘metriek’ 0. Alle gebeurtenissen die ons de dag van vandaag kunnen beïnvloed hebben en al degenen waar wij in de toekomst een invloed op kunnen hebben, daarvoor geldt dat $\Delta x \leq c \Delta t$ , en bijgevolg is voor die gebeurtenissen $ds^2 \leq 0$ . Dergelijke gebeurtenissen noemen we tijdachtig gescheiden van ons. In het andere geval, punten in de ruimtetijd die geen effect hebben op ons, daarvoor geldt dat $ds^2 > 0$ . Dergelijke afstanden noemen we ruimteachtig. Dit stellen we voor in een heus ruimtetijdsdiagram met lichtkegels.

De causale structuur van een ruimtetijd wordt weergegeven door zogenaamde lichtkegels in een diagram waarin we één of twee ruimtelijke dimensies uitzetten in een horizontaal vlak en de tijdsdimensie verticaal tekenen. De lichtkegel is als volgt gedefinieerd: stel je voor dat we met een fietslicht knipperen op tijdstip $t=0$ , dan zal er na één seconde een sfeer (cirkel in twee dimensies) van waarnemers dit knipperend fietslicht waarnemen. Die sfeer zal naarmate de tijd vordert, steeds groter worden. In twee dimensies plus één tijdsimensie zal dit met andere woorden een kegel beschrijven. Alle gebeurtenissen in de bovenste helft van de kegel, zijn gebeurtenissen die wij kunnen beïnvloeden. Analoog zal alles in de onderste helft van de lichtkegel óns verleden beschrijven. Punten op de rand van de lichtkegel voldoen aan $ds^2 = 0$ , alle punten daarbinnen aan $ds^2 < 0$ , en tenslotte alles buiten de lichtkegel aan $ds^2 > 0$ . De punten buiten de lichtkegel zijn dus ruimteachtig van ons gescheiden. Iets dergelijks bestond niet in het Newtoniaanse tijdperk; daar wordt namelijk verondersteld dat instantane propagatie van signalen mogelijk is (als de zon plots verdwijnt, zouden we dat volgens Newton meteen voelen terwijl het volgens de relativiteitstheorie zo’n 8 minuten zou duren).

Op elke gebeurtenis in de ruimtetijd kunnen we zo’n lichtkegel tekenen. In een saaie, lege, vlakke ruimtetijd wijzen alle lichtkegels simpelweg naar boven. Wanneer de ruimtetijd gekromd is, wat zeker het geval is in de nabijheid van een monsterlijk zwart gat, zullen die lichtkegels beginnen kantelen! Laat ons hiervoor nog eens naar een klein beetje wiskunde kijken. De metriek die Schwarzschild vond uit de vergelijkingen van Einstein voor een bolsymmetrische massaverdeling is

(5) $\begin{equation*} ds^2 = \frac{1}{1-\frac{R_S}{r}}\Delta r^2 - (1-\frac{R_S}{r})c^2\Delta t^2, \end{equation*}$

waarbij $r$ de radiale afstand is tot het middelpunt van de bol. Wanneer we heel ver van de bol zitten ( $r$ heel groot) dan krijgen we terug de metriek van een vlakke ruimtetijd. Dat zit al goed. Maar wat is er toch zo bijzonder aan de vergelijking hierboven? Wel het feit dat zwarte gaten de notie van causaliteit helemaal overhoop gooien. Kijk maar eens wat er gebeurt als $r$ kleiner wordt dan $R_S$ . De tekens van de twee termen keren om! Dat wil zeggen dat binnen de sfeer met straal $R_S$ $r$ de rol speelt van een tijdscoördinaat en $t$ de rol van een ruimtelijke coördinaat! Een tijdachtig pad is dan bijvoorbeeld een pad waarvoor $t$ constant is (net zoals in een vlakke ruimte een pad waarvoor $x$ constant is – je zit dus stil en de klok tikt door – een tijdachtig pad is). Wablieft?! Maar dat wil zeggen dat vanaf je $R_S$ passeert, je niet meer kan beslissen waar je heen gaat? Eventjes terug naar de rand en dan vrolijk uit het zwarte gat stappen om er een blockbuster over te regisseren gaat niet meer? Exact! Even zeker als het feit dat we allemaal dood gaan, is het feit dat jouw toekomst het middelpunt van het zwart gat is. Er zit letterlijk niets anders op. Het is jouw toekomst. Zeg almaar een schietgebedje op.

De straal $R_S$ lijkt wel heel bijzonder. Het is de grens waar de lichtkegels zodanig zijn gebogen dat je sneller dan het licht moet reizen om uit het zwarte gat te geraken. We noemen dit point of no return de waarnemingshorizon waar we het over hadden in de foto van het zwarte gat in M87 aan het begin.

Ver van het zwarte gat (de waarnemingshorizon op $R_S$ is hier weergegeven door de dunne rode lijn) staan de lichtkegels nog mooi verticaal. Dichter bij het zwarte gat beginnen ze te kantelen richting de waarnemingshorizon, tot de kanteling plots fataal wordt en de toekomst vast ligt in het centrum – de singulariteit (zigzag rode lijn).

Dode sterren

Allemaal goed en wel, die goeie Schwarzschild geeft ons een zwart gat zonder begin en einde, maar kan zo’n zwart gat zich nu vormen? Kan er een zwart gat onstaan als ik te veel koriander gebruik? Gelukkig niet. Deze monsters onstaan wanneer zware sterren aan het einde komen van hun leven. (*) Wanneer de ster al zijn brandstof erdoor gejaagd heeft, zal die beginnen instorten onder zijn eigen gewicht. Hij heeft immers geen stralingsdruk meer als gevolg van de uitgedoofde kernfusiereacties om de gravitationele samentrekking tegen te gaan. Bij niet al te zware sterren, zoals de zon, zal dit proces leiden tot een witte dwerg, bij iets zwaardere tot een neutronenster en bij de allerzwaarste (vanaf ca. 5 zonsmassa’s) stort de ster ineen tot een zwart gat. In 1939 al bestudeerden Robert Oppenheimer en Hartland Snyder de instorting van een gasbol, i.e. een sferische wolk materie. Uit hun vergelijkingen volgde dat de ster zich op een bepaald moment volledig afsluit van elke mogelijke vorm van communicatie met de buitenwereld. Er blijft enkel een zwaartekrachtsveld over. Exact wat een zwart gat doet!

Ineenstorting van een sferisch symmetrische ster. De tijd loopt zoals gewoonlijk verticaal; twee ruimtelijke dimensies zijn uitgezet in het horizontale vlak. Naarmate de ster instort, zal er in het centrum van de ster, waar de dichtheid het grootst is, een groeiend zwart gat ontstaan. Als je zou waarnemen vanop de ster zelf, dan zou je die in een oogwenk zien verdwijnen wanneer de inkrimpende ster de Schwarzschildstraal bereikt.
Daarnaast wordt ook de lichtkegelstructuur rond het zwarte gat weergegeven; die beginnen inderdaad meer en meer over te hellen naargelang de afstand tot het zwart gat. Ondanks heel wat informatie die we niet besproken hebben, mocht deze prachtige illustratie niet ontbreken. Het is één van de beroemde handgemaakte tekeningen van Roger Penrose in zijn baanbrekende paper van 1965. (**)

Het belangrijkste heikelpunt in de paper van Oppenheimer en Snyder, is dat ze uitgaan van een perfécte sferische symmetrie. Bij het instorten van de ster, zal de ster steeds volmaakt bolvormig zijn. Met andere woorden, alle materie beweegt naar het centrum van de bol; het wordt gefocust tot één enkel punt. Geen wonder dat we dan een singulariteit krijgen, we hebben immers de hele massa van een ster samengetrokken in één punt, wat leidt tot een oneindige dichtheid. We hebben dus een zeer hoge graad van symmetrie nodig om dergelijke onbenulligheden te verkrijgen, zo lijkt het. Elke minieme afwijking van de perfecte bolsymmetrie zou er dus voor zorgen dat de deeltjes elkaar op het laatste ogenblik gewoon missen? Laat ons zeggen dat zwarte gaten door weinigen (zelfs niet Einstein) serieus werden genomen. Insert Penrose.

The question has been raised as to whether this singularity is, in fact, simply a property of the high symmetry assumed.

Penroses singulariteitsbewijs

De ontdekking van zogenaamde quasars (extreem heldere, compacte radiobronnen, zie ook blogtekstje volgende week) eind jaren ’50 zette de astronomie op zijn kop. Er was een hevige discussie wat deze ‘quasi-stellaire objecten konden zijn; er was namelijk geen enkel mechanisme bekend dat zo’n enorme straling kon produceren. In 1964 opperden Edwin Salpeter en Yakov Zel’dovich dat deze straling weleens afkomstig zou kunnen zijn van materie in een accretieschijf die invalt op een supermassief zwart gat. Dit idee werd ironisch genoeg snel aan de kant geschoven, omdat in die pre-Penrosetijd zwarte gaten nog gezien werden als een exotische, wiskundig rariteit. Bovendien was er nog geen bewijs dat sterrenstelsels een superzwaar zwart gat in hun centrum konden hebben (hier komen Genzel en Ghez op de proppen).

Een foto van de quasar 3C 273, in het röntgengebied door de Chandra X-ray Observatory (de ‘jets’ zijn hier duidelijk) en in het optische spectrum door de Hubble Space Telescope respectievelijk. QSO 3C 273 is de optisch helderste quasar die we vandaag de dag kennen, met een luminositeit van maar liefst 100 keer die van onze gehele Melkweg! Om even een gevoel voor schaal te geven: wanneer deze quasar zich op 33 lichtjaar van ons zou bevinden, zou die even helder zijn als de zon. We weten dit dankzij de Nederlandse astronoom Maarten Schmidt die in 1963 het spectrum kon bepalen van deze quasar en daaruit de afstand kon destilleren. Als we dit dan vergelijken met de schijnbare magnitude van de quasar hierop aarde, vinden we die ongelooflijke lichtsterkte.

Dit motiveerde Roger Penrose om die algemene relativiteitstheorie eens grondig onder de loep te nemen. In de laatste 50 jaar waren er geen noemenswaardige ontdekkingen gedaan met deze theorie (***) en men beschouwde de relativiteitstheorie eerder als een curiositeit dan een volwaardige fysische theorie. Dit veranderde drastisch in de jaren ’60, die terecht ook door Kip Thorne the golden age of general relativity worden genoemd, in hoofdzake dankzij het werk van Roger Penrose, en later natuurlijk Stephen Hawking. We proberen nu te schetsen hoe Penrose het wiskundige hart van een zwart gat kon dissecteren. Sla dit stukje gerust over als het je allemaal wat teveel wordt.

Penrose bewees in zijn Gravitational Collapse and Space-Time Singularities dat de ruimtetijd rond een zwart gat geodetisch incompleet is. In ‘simpelere’ bewoordingen, dat elk zwart gat een singulariteit bevat. Laat ons eerst eens bekijken wat een singulariteit is. Een singulariteit van een wiskundige functie, is een punt waar de functie ‘slecht gedefinieerd’ is. Denk aan de functie $f(x) = \frac{1}{x}$ die niet gedefinieerd is in het punt $x=0$ . $x=0$ is een singulariteit van de functie $f(x)$ . Hetzelfde geldt voor de Schwarzschildmetriek in vergelijking 5. In het punt $r=0$ is die inderdaad niet gedefinieerd ( $ds^2$ is geen eindig getal). De dichtheid, en bijgevolg ruimtetijdskromming is er oneindig. (****)

Dit is echter niet de karakterisatie van een singulariteit die Penrose hanteert. In de algemene relativiteitstheorie zijn zogenaamde nulgeodeten (geodeten met metriek 0, met andere woorden: lichtpaden) de gouden standaard om het ruimtetijdsweefsel te beschrijven. Stel nu dat er tussen een punt A en een punt B twee nulgeodeten bestaan, die allebei de kortste afstand tussen de twee punten geven. De twee nulgeodeten die vertrekken in punt A, focussen dus in een punt B. Stel dat we vandaaruit naar een punt C willen reizen. Dat kan daar het pad van de ene of de andere nulgeodeet door te trekken. Maar dit is duidelijk geen nulgeodeet meer, want we kunnen het pad ABC vervormen tot de vreemde hoek die het maakt in punt B verdwijnt. De geodeten stoppen dus met geodeten zijn in de focus B. Meetkunde in woorden is echter niet meer van deze tijd. Laat ons eens naar de aardanalogie kijken

Twee geodeten op het aardoppervlak. Beide paden geven de kortste afstand tussen punt A (hier de zuidpool) en punt B (de noordpool). Op de noordpool focussen de twee geodeten. Als we nu de afstand tot een punt C iets verder van de noordpool willen bepalen, dan zal simpelweg doortrekken van één van de geodeten tot C, ons geen geodeet meer opleveren. Dit wordt weergegeven in de tweede figuur. Het vliegtuig dat per se over de noordpool wil reizen (de rode stipellijn) zal langer onderweg zijn, dan het vliegtuig dat niet langs de noordpool gaat, en werkelijk een geodeet beschrijft. Als we het punt B hebben bereikt, hebben we dus het ‘einde van het noorden’ bereikt, een beetje zoals een singulariteit het einde van de ruimtetijd voorstelt.

Het geodetisch pad komt dus in een eindige afstand op zijn einde, namelijk in het punt B. Het lijkt dus of er een ‘rand’ of ‘einde’ aan de ruimtetijd is. Dit is wat we geodetische incompleetheid noemen. Om te bewijzen dat een zwart gat geodetisch incompleet is, i.e. altijd een singulariteit bevat, voerde Penrose het concept in van een trapped surface, een tweedimensionaal oppervlak met de eigenschap dat alle lichtkegels naar binnen wijzen (denk aan de Schwarzschildstraal van voorheen). Het belangrijkste is dat deze trapped surface geen sfeer hoefde te zijn, of enige andere vorm van symmetrie moest hebben! Het is gewoon een bepaalde regio in de ruimte waarin het licht gevangen wordt. Penrose kon aantonen dat een ruimtetijd met een trapped surface altijd geodetisch incompleet is.

Rest ons nog de vraag, wat is een singulariteit in de ruimtetijd? Per definitie is dit een punt dat niet tot de ruimtetijd kan behoren, want die bestaat enkel uit reguliere punten. Het is alsof iemand met een naald geprikt heeft in de ruimtetijdsstof. Het is een punt waar de gebruikelijke wetten van de fysica niet meer gelden. De grote vraag is natuurlijk wat we moeten aanvangen met deze gaten in de ruimtetijd. Zien we ze als eigenschappen van ons eigenlijk Universum, of als limietpunten waar de klassieke theorieën van zwaartekracht en ruimtetijd niet meer geldig zijn? In het laatste geval zouden we moeten kunnen aantonen dat een theorie van kwantumzwaartekracht de singulariteiten kan voorkomen. Kan kwantummechanica vertellen wat er gebeurt als twee geodeten focussen? Dit zijn vragen die de huidige en toekomstige generatie fysici trachten te beantwoorden.

It all started with a Big Bang

Niet zolang na de publicatie van Penroses baanbrekende paper, raakte een jonge doctoraatsstudent in Cambrige geobsedeerd door deze ruimtetijdssingulariteiten. Deze student was Stephen Hawking die – moest hij nog geleefd hebben – ongetwijfeld de andere helft van de prijs gekregen zou hebben. In zijn thesis bewijst Hawking dat de ideeën van Penrose konden toegepast worden op het Universum in zijn geheel.

“The black hole at the beginning of time.” Scène uit de Theory of Everything waarin Stephen Hawking geïnspireerd raakt door de ideeën van Roger Penrose (hier in beeld) over zwarte gaten en singulariteiten.

Op dat moment weten we al zo’n veertig jaar dat ons Universum aan het expanderen is, en dat het begon als een œuf primordial om het in de poëtische woorden van Georges Lemaître te zeggen. Bovendien was de kosmische achtergrondstraling voor het eerst waargenomen in 1965. Als we dus nulgeodeten zouden volgen naar het verleden, zoals Hawking deed, dan zullen die inderdaad allemaal dichter bij elkaar moeten komen (het Universum wordt kleiner). Maar het zou nog kunnen zijn dat ze elkaar uiteindelijk niet snijden, maar een heel dichte knoop vormen bij de oerknal. Dit zou het geval zijn voor een Big Bounce Universum. Met de machinerie van Roger Penrose vond Hawking echter dat de nulgeodeten in de oerknal werkelijk allemaal focussen, met andere woorden het Universum is gestart in een ruimtetijdssingulariteit! Tijd zelf kan niet voorbij dat punt in het verleden gemeten worden (de geodeten eindigen allemaal als we de klok terugdraaien). Neen, tijd begint in de oerknal!

Dat Sir Roger Penrose deze prijs verdient, staat als een paal boven water. En wel omwille van de volgende diepgaande reden: door louter op de kracht van een wiskundige theorie zoiets exotisch als een zwart gat te kunnen voorspellen, is een on-ge-looflijke prestatie! Daarvoor mogen we ons als mens gerust op de borst kloppen.

——————————————————————————————————————

(*) Ondertussen kennen we ook andere mechanismen hoe zwarte gaten kunnen ontstaan, bijvoorbeeld in dicht bij elkaar gepropte sterren in een cluster of zogenaamde primordiale zwarte gaten door kleine dichtheidsverschillen in het jonge heelal.

(**) Moest dit artistieke kantje (zijn niet alle wiskundigen kunstenaars?) van Roger Penrose je wel bevallen, raad ik je zeker aan zijn boeken te lezen. Hij gaat er prat op al zijn illustraties zelf te maken.

(***) Buiten natuurlijk een aantal kosmologische doorbraken in de jaren ’20; denk aan Alexander Friedmann en onze eigen Georges Lemaître, de grondleggers van de Big Bang-theorie, die de vergelijkingen voor een expanderend universum opstelden.

(****) De aandachtige lezer merkt ongetwijfeld op dat de Schwarzschildmetriek ook niet goed gedefinieerd is op het punt $r=R_S$ . Dit is echter geen echte singulariteit, het is een zogenaamde coördinatensingulariteit. Vergelijk het met de noordpool in een sferisch coördinatsysteem: probeer maar eens de lengtegraad van de noordpool te bepalen. Het is duidelijk dat dit een gevolg is van onze keuze van ‘noordpool’, van onze keuze van coördinaten. Door over te gaan op andere coördinaten (in dit geval zijn dat de Eddington-Finkelstein coördinaten) zal je zien dat er niets bijzonders gebeurt op $r=R_S$ . Buiten dan dat de lichtkegels omkantelen en tijd en ruimte van identiteit wisselen natuurlijk. Ook in die nieuwe coördinaten blijft $r=0$ singulier. Een andere manier om te zien waar de singulariteiten liggen in een ruimtetijd is door zogenaamde krommingsinvarianten te berekenen, waar je zal zien dat $r=0$ een oneindige kromming oplevert, terwijl er op $r=R_S$ opnieuw niets bijzonders gebeurt.

Hoe zwarte gaten kunnen waargenomen worden, kom je te weten in het tweede luik van deze Black Holes and Revelations. Geniet ondertussen van een streepje MUSE:

Open in Spotify

Bronnen:

door Bastiaan Aelbrecht